Trabajo de Investigación

Título: Reconocimiento de patrones con Matemática Difusa: una aplicación en el tratamiento digital de imágenes

Resumen

El reconocimiento de patrones encuentra su formalización en las Matemáticas; especialmente haciendo uso de la Topología. De la mano de los grandes avances tecnológicos, se han ido desarrollando herramientas matemáticas que han permitido profundizar en el desarrollo de algoritmos que permiten identificar y clasificar la forma de los objetos. Un ejemplo claro de estos desarrollos es la Matemáticas Difusa, la cual pretende ser una generalización de la Matemática Dura (tradicional). En este proyecto se pretende estudiar los conceptos básicos de la Matemática Difusa necesarios para entender el reconocimiento de patrones en este marco para su aplicación en el tratamiento digital de imágenes.

Objetivo General

Estudiar los conceptos básicos de la Matemática Tradicional desde el punto de vista de la Matemática Difusa

Objetivos Específicos

Estudiar a los números y conjuntos difusos.

Estudiar algoritmos de reconocimiento de patrones desde el punto de vista de la Matemática Dura y Difusa.

Estudiar las aplicaciones del reconocimiento de patrones en el tratamiento digital de imágenes.

Cronograma de Actividades (Agenda de Trabajo)

Actividad	08/08	09/08	10/08	11/08	12/08	13/08	14/08	15/08	16/08
Recopilación de literatura	X	X
Revisión de conceptos fundamentales			X	X	X
Revisión de algoritmos de identificación de formas				X	X	X
Redacción de borrador						X	X
Corrección								X
Entrega de informe									X

Esquema de Trabajo

Reconocimiento de patrones con Matemática Difusa: una aplicación en el tratamiento digital de imágenes.

I. Introducción 

El reconocimiento de patrones es una herramienta que se ha desarrollado con el objetivo de estudiar las características de objetos o señales específicas. Con esto se busca encontrar una descripción cualitativa de las mismas para lograr un entendimiento más profundo sobre estas en base a su forma principalmente. 

La ciencia que ha sido base de estos desarrollos es la matemática. Desde la Lógica y Teoría de Conjuntos hasta la Topología se ha logrado construir un conocimiento que ha permitido desarrollar algoritmos poderosos que permiten identificar formas de anomalías en objetos o señales. Un gran problema es la vaguedad (o inexactitud) en las mediciones o colección de muestras para su posterior análisis con reconocimiento de patrones (o formas).

II. Justificación. 

La vaguedad es propia de varias situaciones reales. Por ejemplo, para referirnos al color de algún objeto, muchas ocasiones no basta decir que ese objeto tiene tal o cual color, sino que es necesario especificar de alguna manera el “grado” en que dicho color es percibido (el rojo de una sandía es diferente al rojo de una manzana, por ejemplo).

Otro caso de vaguedad está presente en el arcoíris, pues no se distingue con precisión la terminación de una franja y el inicio de otra. Esta misma situación se presenta en algunas imágenes de interés como los interferogramas en óptica, tomografías digitales, mapas, etc.

Una formalización matemática para ese natural concepto de vaguedad fue propuesta por Zadeh [1] en 1965, por medio de conjunto difuso, e independientemente por y Goguen [2], quienes propusieron el concepto de CONJUNTOS L-DIFUSOS (L-FUZZY SETS) , los cuales son una generalización de los conjuntos introducidos por Zadeh.

Desde entonces, muchos resultados de la matemática usual han sido generalizados hacia su versión L-difusa (L-fuzzy). Tales resultados incluyen la definición misma de conjunto L-difuso, números reales L-difusos, grupos L-difusos, ecuaciones diferenciales L-difusas, topología difusa, etc. Son varias las razones para la proliferación de este nuevo tipo de matemática, siendo una de ellas el hecho de que la matemática difusa ha permitido obtener resultados que no se han logrado con la matemática tradicional (dura).

III. Conceptos Básicos.

Dentro de esta matemática se ha desarrollado el concepto de Número Difuso. Una idea intuitiva de número difuso es que dicho número representa algún valor numérico que pertenece a algún conjunto

Esta idea está presente cuando se hace alguna medición; ya que experimentalmente al realizar mediciones existen errores intrínsecos en ellas.

Otros conceptos de interés son: lattice completa, lattice infinitamente distributiva, mapeos y Universo de discurso.

       3.1 Matemática Difusa.

           3.1.1 Concepto de Número Difuso.

       3.2 Matemática Tradicional.

       3.3 Lattice Completa.

        3.4 Lattice Infinitamente Distributiva.

        3.5 Mapeos.

        3.6 Universo de Discurso.

IV. Recursos necesarios.

Revistas digitales y libros electrónicos.

Equipo de cómputo.

V. Resultados esperados.

En este proyecto se pretende entender los principales algoritmos de reconocimiento de patrones utilizados en la clasificación de formas en imágenes digitales.

Al mismo se tiempo se espera lograr una comprensión de los conceptos básicos de la matemática tradicional que serán necesarios para los estudios de la Licenciatura en matemáticas de la UNADM.

   5.1 Identificación de  algoritmos de reconocimiento de patrones.

   5.2 Conocimiento de conceptos básicos de la matemática tradicional.

VI. Conclusión.

Referencias

[1] L.A. Zadeh, Fuzzy sets, Information and Control 8, 338-353 (1965)

[2] J. Goguen, Concept representation in natural and artificial languages: Axioms, extensions and appli-

cations for fuzzy sets, Int. J. Man-Machine Studies, 6 (1974), pp. 513-561.

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